间充质干细胞治疗作为一种新兴的医疗技术，近年来在治疗多种疾病方面展现出潜力，包括甲亢突眼。在中国，一些的大型综合性医院或专业的医疗机构具备开展此类治疗的能力。以下是一些可能提供间充质干细胞治疗甲亢突眼服务的医院，具体是否提供该服务、治疗方案及安全性等，需直接咨询医院或相关部门：

1. 北京协和医院 - 作为国内的综合性医院之一，北京协和医院在多个领域拥有高水平的研究与临床能力。他们可能通过合作研究项目或引进国际先进治疗技术，为患者提供包括间充质干细胞在内的创新疗法。

2. 上海交通大学医学院附属瑞金医院 - 瑞金医院在多个医学领域有深厚的积累，尤其是在细胞治疗、免疫调节等方面的研究进展较快。他们可能会根据科研成果和临床需求，探索和应用间充质干细胞治疗甲亢突眼等疾病。

3. 四川大学华西医院 - 华西医院在生物医学工程、再生医学等领域有着显著的科研实力和临床经验。对于前沿技术如间充质干细胞治疗，华西医院可能也会积极探索其在临床应用的可能性。

4. 中山大学孙逸仙纪念医院 - 孙逸仙纪念医院在细胞生物学、免疫学等领域有较强的研究基础，他们可能会关注并开展间充质干细胞治疗的相关研究和临床应用。

在选择医院时，建议考虑医院的专业资质、医生的经验、治疗的成功案例、以及治疗的安全性和有效性。同时，由于间充质干细胞治疗仍处于研究和探索阶段，其效果、安全性以及适用人群可能存在一定的不确定性，因此在决定接受治疗前，务必详细了解相关信息，并与医生充分沟通，了解治疗的风险与收益，做出明智的选择。

任何医疗决策都应基于对当前科学证据的全面理解，并遵循专业医疗人员的指导。本回答旨在提供一般性的信息参考，不构成具体的医疗建议。